1樓：王贇 Maigo
這是乙個好玩的問題。
我們先來觀察一下右上角的那段曲線是怎麼形成的。
最初，萊洛三角形的頂點A朝向3點鐘方向（圖1）。
然後，萊洛三角形開始逆時針旋轉，A點一直位於正方形的右邊上，直到它指向2點鐘方向（圖2）。此時，弧AC與正方形的右邊相切。
繼續旋轉時，A點就離開了正方形邊界，而B、C兩點位於正方形的左、下兩邊上，直到A點指向1點鐘方向時，A點到達正方形的上邊界，同時弧AB與正方形的上邊相切（圖3）。
繼續旋轉，A點就在正方形的上邊界上移動（圖4）。
不難看出，右上角的曲線是在A點從2點鐘方向（圖2）旋轉至1點鐘方向（圖3）的過程中產生的。
看起來，萊洛三角形在正方形內旋轉，掃過的區域的邊緣是個圓角正方形，四個角似乎是四分之一圓弧。只要求出圓弧的半徑就大功告成了。
那麼就來求一下試試唄！
設萊洛三角形的「直徑」為1，那麼正方形的邊長也為1。
不難求出，圖2、3中A點與正方形右上角的距離為。這就是四段圓弧的半徑。
等等！不對呀，從圖2到圖3，萊洛三角形明明只旋轉了30度，四個角上應該是30度圓弧而不是90度圓弧吧？
其實呢，30度圓弧和90度圓弧都不對。注意在旋轉的過程中，萊洛三角形的中心是在移動的！這造成的結果是，A點從2點鐘方向旋轉到1點鐘方向所描出的曲線，根本就不是圓弧！
那麼怎麼來求A點的軌跡呢？
注意到A點從2點鐘方向旋轉到1點鐘方向的過程中，B、C點始終在正方形的左、下邊界上。
那麼可以以這兩個邊界為座標軸建立直角座標系，設C點的座標為，B點的座標為。
由ABC是邊長為1的正三角形，可以列出方程組：
從中消去a、b，可以得到如下方程：
咦？方程變成了四次的？這是因為消元過程中需要通過兩邊平方來消去一些「±」號。
不過這個四次方程代表的並不是乙個四次曲線。它可以因式分解：
這代表的是兩個橢圓：
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